Trójkąt prostokątny to szczególny rodzaj trójkąta, który zawiera jeden kąt prosty (90°). Ta właściwość sprawia, że wiele obliczeń geometrycznych związanych z tym trójkątem jest stosunkowo prostych. W tym artykule skupimy się na okręgu wpisanym w trójkąt prostokątny i wzorach pozwalających obliczyć jego promień.
Podstawowe pojęcia
Zanim przejdziemy do wzorów, przypomnijmy kilka podstawowych pojęć:
- Okrąg wpisany w trójkąt to okrąg, który dotyka wszystkich trzech boków trójkąta (każdego w jednym punkcie).
- Środek okręgu wpisanego to punkt, w którym przecinają się dwusieczne kątów trójkąta.
- Promień okręgu wpisanego to odległość od środka okręgu do dowolnego boku trójkąta.
W trójkącie prostokątnym, oznaczmy boki przy kącie prostym jako \(a\) i \(b\), a przeciwprostokątną jako \(c\).
Wzór ogólny na promień okręgu wpisanego
Dla dowolnego trójkąta o bokach \(a\), \(b\) i \(c\) oraz polu \(P\), promień okręgu wpisanego \(r\) można obliczyć ze wzoru:
\[ r = \frac{P}{s} \]
gdzie \(s\) to połowa obwodu trójkąta, czyli:
\[ s = \frac{a + b + c}{2} \]
Pole trójkąta można obliczyć ze wzoru Herona:
\[ P = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \]
Wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny
W przypadku trójkąta prostokątnego, gdzie \(c^2 = a^2 + b^2\) (twierdzenie Pitagorasa), wzór na promień okręgu wpisanego można znacznie uprościć.
Dla trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \(a\) i \(b\) oraz przeciwprostokątnej \(c\), promień okręgu wpisanego \(r\) wynosi:
\[ r = \frac{a + b – c}{2} \]
Alternatywnie, możemy zapisać ten wzór jako:
\[ r = \frac{a \cdot b}{a + b + c} \]
Wyprowadzenie wzoru
Wyprowadźmy wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny. Wiemy, że:
- Pole trójkąta prostokątnego: \(P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\)
- Obwód trójkąta prostokątnego: \(L = a + b + c\)
- Połowa obwodu: \(s = \frac{a + b + c}{2}\)
Korzystając z ogólnego wzoru \(r = \frac{P}{s}\), mamy:
\[ r = \frac{\frac{1}{2} \cdot a \cdot b}{\frac{a + b + c}{2}} = \frac{a \cdot b}{a + b + c} \]
Możemy również przekształcić ten wzór. Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że \(c^2 = a^2 + b^2\), więc:
\[ r = \frac{a \cdot b}{a + b + c} = \frac{a \cdot b}{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}} \]
Istnieje również inne przekształcenie tego wzoru. Zauważmy, że:
\[ r = \frac{a \cdot b}{a + b + c} = \frac{a + b – c + 2ab – (a + b – c)}{2(a + b + c)} \]
Po uproszczeniu otrzymujemy:
\[ r = \frac{a + b – c}{2} \]
Ten wzór jest szczególnie przydatny, gdy znamy długości wszystkich boków trójkąta prostokątnego.
Przykłady obliczeniowe
Przykład 1:
Obliczmy promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(a = 3\) i \(b = 4\).
Najpierw obliczamy długość przeciwprostokątnej korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
Teraz możemy obliczyć promień okręgu wpisanego:
\[ r = \frac{a \cdot b}{a + b + c} = \frac{3 \cdot 4}{3 + 4 + 5} = \frac{12}{12} = 1 \]
Alternatywnie, korzystając z drugiego wzoru:
\[ r = \frac{a + b – c}{2} = \frac{3 + 4 – 5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt prostokątny wynosi 1.
Przykład 2:
Rozważmy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(a = 5\) i \(b = 12\).
Obliczamy przeciwprostokątną:
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \]
Promień okręgu wpisanego wynosi:
\[ r = \frac{a \cdot b}{a + b + c} = \frac{5 \cdot 12}{5 + 12 + 13} = \frac{60}{30} = 2 \]
Sprawdźmy to za pomocą drugiego wzoru:
\[ r = \frac{a + b – c}{2} = \frac{5 + 12 – 13}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]
Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt prostokątny wynosi 2.
Szczególne przypadki trójkątów prostokątnych
Trójkąt prostokątny równoramienny
W trójkącie prostokątnym równoramiennym przyprostokątne są równe: \(a = b\).
Przeciwprostokątna wynosi: \(c = a\sqrt{2}\)
Promień okręgu wpisanego można obliczyć jako:
\[ r = \frac{a \cdot a}{a + a + a\sqrt{2}} = \frac{a^2}{2a + a\sqrt{2}} = \frac{a}{2 + \sqrt{2}} = \frac{a(2 – \sqrt{2})}{4 – 2} = \frac{a(2 – \sqrt{2})}{2} \]
Po uproszczeniu:
\[ r = \frac{a(2 – \sqrt{2})}{2} = a \cdot \frac{2 – \sqrt{2}}{2} \approx 0.2929 \cdot a \]
Trójkąt prostokątny o bokach w stosunku 3:4:5
Dla trójkąta prostokątnego, którego boki są w stosunku 3:4:5 (czyli \(a = 3k\), \(b = 4k\), \(c = 5k\), gdzie \(k\) jest dowolną liczbą dodatnią), promień okręgu wpisanego wynosi:
\[ r = \frac{a \cdot b}{a + b + c} = \frac{3k \cdot 4k}{3k + 4k + 5k} = \frac{12k^2}{12k} = k \]
Oznacza to, że promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o bokach w stosunku 3:4:5 jest równy \(\frac{1}{12}\) obwodu trójkąta.
Kalkulator promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny
Poniżej znajduje się prosty kalkulator, który pomoże Ci obliczyć promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny. Wystarczy, że podasz długości przyprostokątnych.
Kalkulator promienia okręgu wpisanego
Zastosowania praktyczne
Znajomość wzorów na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny może być przydatna w wielu dziedzinach:
- Architektura i budownictwo – przy projektowaniu konstrukcji, gdzie trójkąty prostokątne są często wykorzystywane jako elementy stabilizujące.
- Kartografia – przy obliczaniu odległości i powierzchni na mapach.
- Optymalizacja – przy rozwiązywaniu problemów dotyczących maksymalizacji lub minimalizacji powierzchni.
- Grafika komputerowa – przy tworzeniu i manipulowaniu obiektami geometrycznymi.
Podsumowanie
W artykule przedstawiliśmy wzory na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny:
- \( r = \frac{a \cdot b}{a + b + c} \), gdzie \(a\) i \(b\) to przyprostokątne, a \(c\) to przeciwprostokątna.
- \( r = \frac{a + b – c}{2} \), co jest alternatywną formą tego samego wzoru.
Poznaliśmy również szczególne przypadki, takie jak trójkąt prostokątny równoramienny oraz trójkąt o bokach w stosunku 3:4:5. Dzięki tym wzorom możemy łatwo obliczyć promień okręgu wpisanego, znając tylko długości boków trójkąta prostokątnego.
Warto zauważyć, że okrąg wpisany w trójkąt prostokątny zawsze dotyka przyprostokątnych oraz przeciwprostokątnej, a jego środek znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta. Znajomość tych właściwości oraz wzorów na promień okręgu wpisanego jest niezwykle przydatna w geometrii i jej zastosowaniach praktycznych.