Trygonometria w trójkącie prostokątnym to fundamentalny dział matematyki, który pozwala zrozumieć relacje między kątami i bokami trójkątów prostokątnych. Wiedza ta jest niezwykle praktyczna i znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach nauki i techniki. W tym artykule omówimy najważniejsze zagadnienia, które są kluczowe dla uczniów klasy 2 liceum przygotowujących się do sprawdzianu z trygonometrii.

Podstawowe definicje funkcji trygonometrycznych

Funkcje trygonometryczne definiujemy w trójkącie prostokątnym, w którym jeden z kątów wynosi 90°. Oznaczmy boki trójkąta następująco:

• przeciwprostokątna – najdłuższy bok, leżący naprzeciwko kąta prostego
• przyprostokątna przyległa – bok przylegający do rozpatrywanego kąta ostrego
• przyprostokątna przeciwległa – bok leżący naprzeciwko rozpatrywanego kąta ostrego

Dla kąta ostrego \(\alpha\) definiujemy:

\(\sin \alpha = \frac{\text{przyprostokątna przeciwległa}}{\text{przeciwprostokątna}}\)

\(\cos \alpha = \frac{\text{przyprostokątna przyległa}}{\text{przeciwprostokątna}}\)

\(\tan \alpha = \frac{\text{przyprostokątna przeciwległa}}{\text{przyprostokątna przyległa}} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\)

\(\cot \alpha = \frac{\text{przyprostokątna przyległa}}{\text{przyprostokątna przeciwległa}} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1}{\tan \alpha}\)

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45° i 60°

Znajomość dokładnych wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów jest niezbędna do rozwiązywania zadań. Poniżej przedstawiam tabelę z wartościami dla najczęściej występujących kątów:

Kąt \(\alpha\)	\(\sin \alpha\)	\(\cos \alpha\)	\(\tan \alpha\)	\(\cot \alpha\)
30° = \(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)	\(\sqrt{3}\)
45° = \(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	1	1
60° = \(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\sqrt{3}\)	\(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)

Zależności między funkcjami trygonometrycznymi

Pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi istnieją ważne zależności, które ułatwiają obliczenia:

\(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)

\(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\)

\(\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\)

\(\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1\)

\(1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}\)

\(1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}\)

Twierdzenie Pitagorasa w kontekście trygonometrii

W trójkącie prostokątnym o bokach \(a\), \(b\) i przeciwprostokątnej \(c\) zachodzi zależność:

\(a^2 + b^2 = c^2\)

Jeśli oznaczmy kąt między bokiem \(a\) a przeciwprostokątną \(c\) jako \(\alpha\), to:

\(\sin \alpha = \frac{b}{c}\)

\(\cos \alpha = \frac{a}{c}\)

\(\tan \alpha = \frac{b}{a}\)

Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych

Rozwiązywanie trójkąta prostokątnego polega na wyznaczeniu wszystkich jego boków i kątów, gdy znamy tylko niektóre z nich. W trójkącie prostokątnym wystarczy znać:

• dwa boki, aby wyznaczyć trzeci bok (z twierdzenia Pitagorasa) i kąty ostre (z definicji funkcji trygonometrycznych)
• jeden bok i jeden kąt ostry, aby wyznaczyć pozostałe elementy

Przykład 1: Obliczanie boków trójkąta

Dany jest trójkąt prostokątny, w którym jeden z kątów ostrych wynosi 30°, a przyprostokątna przyległa do tego kąta ma długość 8 cm. Oblicz długości pozostałych boków.

Rozwiązanie:

Oznaczmy boki trójkąta:

• \(a\) – przyprostokątna przyległa do kąta 30° (wiemy, że \(a = 8\) cm)
• \(b\) – przyprostokątna przeciwległa do kąta 30°
• \(c\) – przeciwprostokątna

Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych dla kąta 30°:

\(\cos 30° = \frac{a}{c}\)

\(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8}{c}\)

\(c = \frac{8 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3} \approx 9,24\) cm

Teraz obliczamy drugi bok:

\(\sin 30° = \frac{b}{c}\)

\(\frac{1}{2} = \frac{b}{c}\)

\(b = \frac{c}{2} = \frac{16\sqrt{3}}{6} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \approx 4,62\) cm

Możemy też użyć twierdzenia Pitagorasa:

\(b = \sqrt{c^2 – a^2} = \sqrt{\left(\frac{16\sqrt{3}}{3}\right)^2 – 8^2} = \sqrt{\frac{768}{9} – 64} = \sqrt{\frac{768-576}{9}} = \sqrt{\frac{192}{9}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \approx 4,62\) cm

Przykład 2: Obliczanie kątów trójkąta

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach 5 cm i 12 cm oraz przeciwprostokątnej 13 cm. Oblicz miary kątów ostrych w tym trójkącie.

Rozwiązanie:

Oznaczmy kąty ostre jako \(\alpha\) i \(\beta\). Wiemy, że \(\alpha + \beta = 90°\).

Korzystając z definicji funkcji sinus dla kąta \(\alpha\) (przyjmijmy, że leży on przy boku 5 cm):

\(\sin \alpha = \frac{5}{13}\)

\(\alpha = \arcsin\left(\frac{5}{13}\right) \approx 22,6°\)

Zatem \(\beta = 90° – \alpha = 90° – 22,6° = 67,4°\)

Możemy też obliczyć kąty korzystając z funkcji cosinus lub tangens:

\(\cos \alpha = \frac{12}{13} \approx 0,923\)

\(\alpha = \arccos(0,923) \approx 22,6°\)

\(\tan \alpha = \frac{5}{12} \approx 0,417\)

\(\alpha = \arctan(0,417) \approx 22,6°\)

Zastosowanie trygonometrii w zadaniach praktycznych

Przykład 3: Wysokość drzewa

Z punktu obserwacyjnego kąt, pod jakim widać wierzchołek drzewa, wynosi 32°. Odległość od punktu obserwacji do drzewa to 15 m, a wysokość oczu obserwatora to 1,7 m. Oblicz wysokość drzewa.

Rozwiązanie:

Oznaczmy wysokość drzewa jako \(h\). Z punktu obserwacji widzimy wierzchołek drzewa pod kątem 32°. Tworzy się trójkąt prostokątny, w którym:

• przyprostokątna przyległa to odległość od punktu obserwacji do drzewa, czyli 15 m
• przyprostokątna przeciwległa to różnica wysokości drzewa i oczu obserwatora, czyli \(h – 1,7\) m

Korzystając z definicji tangensa:

\(\tan 32° = \frac{h – 1,7}{15}\)

\(h – 1,7 = 15 \cdot \tan 32° \approx 15 \cdot 0,625 = 9,375\)

\(h = 9,375 + 1,7 = 11,075\) m

Zatem wysokość drzewa wynosi około 11,08 m.

Kalkulator funkcji trygonometrycznych

Poniższy kalkulator pomoże Ci obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnego kąta w stopniach.

Kalkulator do rozwiązywania trójkątów prostokątnych

Ten kalkulator pomoże Ci rozwiązać trójkąt prostokątny, gdy znasz dwa jego elementy (boki lub kąt).