Wartość bezwzględna to jedno z tych pojęć matematycznych, które często sprawia trudności uczniom i studentom. Szczególnie wymagające są nierówności zawierające wartość bezwzględną, które wymagają systematycznego podejścia i dobrego zrozumienia podstawowych własności. W tym artykule omówimy szczegółowo metody rozwiązywania nierówności z wartością bezwzględną, prezentując różnorodne przykłady i techniki.
Czym jest wartość bezwzględna?
Zanim przejdziemy do rozwiązywania nierówności, przypomnijmy definicję wartości bezwzględnej. Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej \(x\), oznaczana jako \(|x|\), jest zdefiniowana następująco:
\[ |x| = \begin{cases}
x, & \text{gdy } x \geq 0 \\
-x, & \text{gdy } x < 0
\end{cases} \]
Geometrycznie wartość bezwzględna \(|x|\) reprezentuje odległość liczby \(x\) od zera na osi liczbowej.
Wartość bezwzględna posiada kilka ważnych własności:
- \(|x| \geq 0\) dla każdego \(x \in \mathbb{R}\)
- \(|x| = 0\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(x = 0\)
- \(|-x| = |x|\) dla każdego \(x \in \mathbb{R}\)
- \(|x \cdot y| = |x| \cdot |y|\) dla dowolnych \(x, y \in \mathbb{R}\)
- \(|x + y| \leq |x| + |y|\) (nierówność trójkąta)
- \(||x| – |y|| \leq |x – y|\)
Podstawowe typy nierówności z wartością bezwzględną
Istnieje kilka podstawowych typów nierówności z wartością bezwzględną. Omówimy je po kolei, prezentując metody rozwiązywania.
1. Nierówności typu \(|x| < a\)
Gdy \(a > 0\), nierówność \(|x| < a\) oznacza, że odległość liczby \(x\) od zera jest mniejsza niż \(a\). Korzystając z definicji wartości bezwzględnej, możemy zapisać:
\[ |x| < a \iff -a < x < a \quad \text{(dla } a > 0 \text{)} \]
Rozwiązaniem jest zatem przedział \((-a, a)\).
2. Nierówności typu \(|x| \leq a\)
Podobnie jak wyżej, dla \(a \geq 0\):
\[ |x| \leq a \iff -a \leq x \leq a \quad \text{(dla } a \geq 0 \text{)} \]
Rozwiązaniem jest przedział \([-a, a]\).
3. Nierówności typu \(|x| > a\)
Gdy \(a \geq 0\), nierówność \(|x| > a\) oznacza, że odległość liczby \(x\) od zera jest większa niż \(a\). Możemy zapisać:
\[ |x| > a \iff x < -a \text{ lub } x > a \quad \text{(dla } a \geq 0 \text{)} \]
Rozwiązaniem jest suma przedziałów \((-\infty, -a) \cup (a, +\infty)\).
4. Nierówności typu \(|x| \geq a\)
Podobnie jak wyżej, dla \(a \geq 0\):
\[ |x| \geq a \iff x \leq -a \text{ lub } x \geq a \quad \text{(dla } a \geq 0 \text{)} \]
Rozwiązaniem jest suma przedziałów \((-\infty, -a] \cup [a, +\infty)\).
Poniższy wykres ilustruje rozwiązania dla różnych typów nierówności z wartością bezwzględną dla \(a = 3\):
Rozwiązywanie bardziej złożonych nierówności z wartością bezwzględną
Przejdźmy teraz do bardziej zaawansowanych przypadków. Rozważmy kilka typów złożonych nierówności.
1. Nierówności typu \(|f(x)| < a\)
Gdy mamy do czynienia z nierównością \(|f(x)| < a\), gdzie \(f(x)\) jest funkcją zmiennej \(x\), a \(a > 0\), możemy zapisać:
\[ |f(x)| < a \iff -a < f(x) < a \]
Podobnie dla pozostałych typów nierówności:
\[ |f(x)| \leq a \iff -a \leq f(x) \leq a \]
\[ |f(x)| > a \iff f(x) < -a \text{ lub } f(x) > a \]
\[ |f(x)| \geq a \iff f(x) \leq -a \text{ lub } f(x) \geq a \]
2. Nierówności typu \(|f(x)| < |g(x)|\)
W przypadku nierówności \(|f(x)| < |g(x)|\), sytuacja jest bardziej złożona. Musimy rozważyć znaki \(g(x)\):
Jeśli \(g(x) \neq 0\), możemy pomnożyć obie strony przez \(|g(x)|\) (co nie zmienia znaku nierówności, ponieważ \(|g(x)| > 0\)):
\[ \frac{|f(x)|}{|g(x)|} < 1 \iff \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| < 1 \iff -1 < \frac{f(x)}{g(x)} < 1 \]
Następnie mnożymy wszystkie części nierówności przez \(g(x)\), uwzględniając jego znak:
Dla \(g(x) > 0\): \(-g(x) < f(x) < g(x)\)
Dla \(g(x) < 0\): \(g(x) < f(x) < -g(x)\)
Łącząc te warunki, otrzymujemy:
\[ |f(x)| < |g(x)| \iff \begin{cases}
-g(x) < f(x) < g(x), & \text{gdy } g(x) > 0 \\
g(x) < f(x) < -g(x), & \text{gdy } g(x) < 0
\end{cases} \]
Podobnie możemy analizować nierówności typu \(|f(x)| \leq |g(x)|\), \(|f(x)| > |g(x)|\) i \(|f(x)| \geq |g(x)|\).
Przykłady rozwiązywania nierówności z wartością bezwzględną
Przeanalizujmy teraz kilka konkretnych przykładów, aby lepiej zrozumieć metody rozwiązywania nierówności z wartością bezwzględną.
Przykład 1: Rozwiąż nierówność \(|2x – 3| < 5\)
Stosujemy metodę dla nierówności typu \(|f(x)| < a\):
\[ |2x – 3| < 5 \iff -5 < 2x - 3 < 5 \]
Rozwiązujemy układ nierówności:
\[ -5 < 2x - 3 \iff 2x > -2 \iff x > -1 \]
\[ 2x – 3 < 5 \iff 2x < 8 \iff x < 4 \]
Łącząc te warunki, otrzymujemy rozwiązanie: \(x \in (-1, 4)\).
Przykład 2: Rozwiąż nierówność \(|3x + 2| \geq 7\)
Stosujemy metodę dla nierówności typu \(|f(x)| \geq a\):
\[ |3x + 2| \geq 7 \iff 3x + 2 \leq -7 \text{ lub } 3x + 2 \geq 7 \]
Rozwiązujemy obie nierówności:
\[ 3x + 2 \leq -7 \iff 3x \leq -9 \iff x \leq -3 \]
\[ 3x + 2 \geq 7 \iff 3x \geq 5 \iff x \geq \frac{5}{3} \]
Łącząc te warunki, otrzymujemy rozwiązanie: \(x \in (-\infty, -3] \cup [\frac{5}{3}, +\infty)\).
Przykład 3: Rozwiąż nierówność \(|x^2 – 4| < 3\)
Stosujemy metodę dla nierówności typu \(|f(x)| < a\):
\[ |x^2 – 4| < 3 \iff -3 < x^2 - 4 < 3 \]
Rozwiązujemy układ nierówności:
\[ -3 < x^2 - 4 \iff x^2 > 1 \iff x < -1 \text{ lub } x > 1 \]
\[ x^2 – 4 < 3 \iff x^2 < 7 \iff -\sqrt{7} < x < \sqrt{7} \]
Łącząc te warunki, otrzymujemy rozwiązanie:
\[ (-\sqrt{7}, -1) \cup (1, \sqrt{7}) \]
Przykład 4: Rozwiąż nierówność \(|2x – 1| > |x + 3|\)
W tym przypadku musimy rozważyć znaki wyrażenia \(x + 3\):
Dla \(x + 3 > 0\), czyli \(x > -3\):
\[ |2x – 1| > |x + 3| \iff |2x – 1| > x + 3 \]
To z kolei musimy rozpisać na dwa przypadki:
a) Gdy \(2x – 1 \geq 0\), czyli \(x \geq \frac{1}{2}\):
\[ 2x – 1 > x + 3 \iff x > 4 \]
b) Gdy \(2x – 1 < 0\), czyli \(x < \frac{1}{2}\):
\[ -(2x – 1) > x + 3 \iff -2x + 1 > x + 3 \iff -3x > 2 \iff x < -\frac{2}{3} \]
Dla \(x + 3 < 0\), czyli \(x < -3\):
\[ |2x – 1| > |x + 3| \iff |2x – 1| > -(x + 3) \]
Znów rozważamy dwa przypadki:
c) Gdy \(2x – 1 \geq 0\), czyli \(x \geq \frac{1}{2}\) (ale też \(x < -3\), co daje sprzeczność).
d) Gdy \(2x – 1 < 0\), czyli \(x < \frac{1}{2}\):
\[ -(2x – 1) > -(x + 3) \iff -2x + 1 > -x – 3 \iff -x > -4 \iff x < 4 \]
Łącząc wszystkie warunki i przedziały, otrzymujemy rozwiązanie:
\[ x \in (-\infty, -3) \cup (-3, -\frac{2}{3}) \cup (4, +\infty) \]
Co można uprościć do:
\[ x \in (-\infty, -\frac{2}{3}) \cup (4, +\infty) \]
Metoda przedziałów dla nierówności z wartością bezwzględną
Przy rozwiązywaniu bardziej złożonych nierówności z wartością bezwzględną, szczególnie przydatna jest metoda przedziałów. Polega ona na:
- Znalezieniu wszystkich punktów, w których wyrażenia pod wartością bezwzględną zmieniają znak lub są równe zero.
- Podzieleniu osi liczbowej na przedziały wyznaczone przez te punkty.
- Zbadaniu znaku wyrażeń w każdym z przedziałów.
- Rozwiązaniu nierówności oddzielnie w każdym przedziale.
- Połączeniu otrzymanych rozwiązań.
Przykład 5: Rozwiąż nierówność \(|x^2 – 5x + 6| \leq 2\)
Najpierw rozkładamy wyrażenie pod wartością bezwzględną:
\[ x^2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) \]
Wyrażenie \(x^2 – 5x + 6\) zmienia znak w punktach \(x = 2\) i \(x = 3\). Dzielimy więc oś liczbową na przedziały: \((-\infty, 2)\), \([2, 3]\), \((3, +\infty)\).
Badamy znak wyrażenia \(x^2 – 5x + 6\) w każdym przedziale:
- Dla \(x < 2\): \((x - 2)(x - 3) > 0\), więc \(x^2 – 5x + 6 > 0\)
- Dla \(2 \leq x \leq 3\): \((x – 2)(x – 3) \leq 0\), więc \(x^2 – 5x + 6 \leq 0\)
- Dla \(x > 3\): \((x – 2)(x – 3) > 0\), więc \(x^2 – 5x + 6 > 0\)
Teraz rozwiązujemy nierówność \(|x^2 – 5x + 6| \leq 2\) w każdym przedziale:
Dla \(x < 2\):
\[ |x^2 – 5x + 6| \leq 2 \iff x^2 – 5x + 6 \leq 2 \iff x^2 – 5x + 4 \leq 0 \]
\[ (x – 1)(x – 4) \leq 0 \iff 1 \leq x \leq 4 \]
Uwzględniając warunek \(x < 2\), otrzymujemy \(1 \leq x < 2\).
Dla \(2 \leq x \leq 3\):
\[ |x^2 – 5x + 6| \leq 2 \iff -(x^2 – 5x + 6) \leq 2 \iff -x^2 + 5x – 6 \leq 2 \]
\[ -x^2 + 5x – 8 \leq 0 \iff x^2 – 5x + 8 \geq 0 \]
Obliczamy deltę: \(\Delta = 25 – 4 \cdot 1 \cdot 8 = 25 – 32 = -7 < 0\)
Ponieważ delta jest ujemna, to \(x^2 – 5x + 8 > 0\) dla wszystkich \(x\).
Zatem w przedziale \(2 \leq x \leq 3\) nierówność jest spełniona.
Dla \(x > 3\):
\[ |x^2 – 5x + 6| \leq 2 \iff x^2 – 5x + 6 \leq 2 \iff x^2 – 5x + 4 \leq 0 \]
\[ (x – 1)(x – 4) \leq 0 \iff 1 \leq x \leq 4 \]
Uwzględniając warunek \(x > 3\), otrzymujemy \(3 < x \leq 4\).
Łącząc wszystkie otrzymane przedziały, otrzymujemy rozwiązanie:
\[ x \in [1, 4] \]
Nierówności z wieloma wartościami bezwzględnymi
Nierówności zawierające więcej niż jedną wartość bezwzględną mogą być bardziej skomplikowane. Przeanalizujmy kilka przykładów.
Przykład 6: Rozwiąż nierówność \(|x – 1| + |x + 2| < 5\)
W tym przypadku mamy sumę dwóch wartości bezwzględnych. Musimy rozważyć, kiedy wyrażenia \(x – 1\) i \(x + 2\) zmieniają znak:
- \(x – 1 = 0\) dla \(x = 1\)
- \(x + 2 = 0\) dla \(x = -2\)
Dzielimy oś liczbową na przedziały: \((-\infty, -2)\), \([-2, 1)\), \([1, +\infty)\).
Rozwiązujemy nierówność w każdym przedziale:
Dla \(x < -2\):
\[ |x – 1| + |x + 2| < 5 \iff -(x - 1) + -(x + 2) < 5 \]
\[ -x + 1 – x – 2 < 5 \iff -2x - 1 < 5 \iff -2x < 6 \iff x > -3 \]
Uwzględniając warunek \(x < -2\), otrzymujemy \(-3 < x < -2\).
Dla \(-2 \leq x < 1\):
\[ |x – 1| + |x + 2| < 5 \iff -(x - 1) + (x + 2) < 5 \]
\[ -x + 1 + x + 2 < 5 \iff 3 < 5 \]
Nierówność jest spełniona dla wszystkich \(x\) z przedziału \([-2, 1)\).
Dla \(x \geq 1\):
\[ |x – 1| + |x + 2| < 5 \iff (x - 1) + (x + 2) < 5 \]
\[ 2x + 1 < 5 \iff 2x < 4 \iff x < 2 \]
Uwzględniając warunek \(x \geq 1\), otrzymujemy \(1 \leq x < 2\).
Łącząc wszystkie otrzymane przedziały, otrzymujemy rozwiązanie:
\[ x \in (-3, 2) \]