Funkcje wykładnicze i logarytmiczne to jedne z najważniejszych funkcji w matematyce, które znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach nauki, od ekonomii po biologię. W tym artykule omówimy ich właściwości, przedstawimy metody rozwiązywania zadań oraz udostępnimy materiały przydatne do przygotowania się do sprawdzianów.

Funkcja wykładnicza – definicja i właściwości

Funkcja wykładnicza to funkcja postaci:

\[ f(x) = a^x \]

gdzie \(a\) to podstawa funkcji wykładniczej, przy czym \(a > 0\) i \(a \neq 1\).

Najważniejsze właściwości funkcji wykładniczej:

• Dziedziną funkcji wykładniczej jest zbiór liczb rzeczywistych: \(D_f = \mathbb{R}\)
• Zbiorem wartości funkcji wykładniczej jest zbiór liczb dodatnich: \(Y_f = (0, +\infty)\)
• Funkcja wykładnicza jest zawsze dodatnia: \(a^x > 0\) dla każdego \(x \in \mathbb{R}\)
• Funkcja wykładnicza przyjmuje wartość 1 dla argumentu 0: \(a^0 = 1\)
• Dla \(a > 1\) funkcja jest rosnąca
• Dla \(0 < a < 1\) funkcja jest malejąca
• Wykres funkcji wykładniczej przechodzi przez punkt \((0,1)\)

Szczególnie ważną funkcją wykładniczą jest funkcja o podstawie \(e\) (liczba Eulera, \(e \approx 2,71828\)), zapisywana jako \(f(x) = e^x\).

Funkcja logarytmiczna – definicja i właściwości

Funkcja logarytmiczna jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej i definiujemy ją jako:

\[ f(x) = \log_a x \]

gdzie \(a\) to podstawa logarytmu, przy czym \(a > 0\) i \(a \neq 1\).

Najważniejsze właściwości funkcji logarytmicznej:

• Dziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb dodatnich: \(D_f = (0, +\infty)\)
• Zbiorem wartości funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb rzeczywistych: \(Y_f = \mathbb{R}\)
• Funkcja logarytmiczna przyjmuje wartość 0 dla argumentu 1: \(\log_a 1 = 0\)
• Dla \(a > 1\) funkcja jest rosnąca
• Dla \(0 < a < 1\) funkcja jest malejąca
• Wykres funkcji logarytmicznej przechodzi przez punkt \((1,0)\)

Szczególnie ważne są logarytmy:

• naturalny (o podstawie \(e\)): \(\ln x = \log_e x\)
• dziesiętny: \(\log x = \log_{10} x\)
• binarny: \(\log_2 x\)

Podstawowe wzory i tożsamości

Dla funkcji wykładniczych:

\[ a^{x+y} = a^x \cdot a^y \]

\[ a^{x-y} = \frac{a^x}{a^y} \]

\[ (a^x)^y = a^{xy} \]

\[ a^{-x} = \frac{1}{a^x} \]

Dla funkcji logarytmicznych:

\[ \log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y \]

\[ \log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x – \log_a y \]

\[ \log_a (x^y) = y \cdot \log_a x \]

\[ \log_a a = 1 \]

\[ \log_a a^x = x \]

\[ a^{\log_a x} = x \]

\[ \log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a} \]

Równania wykładnicze – metody rozwiązywania

Równania wykładnicze to równania, w których niewiadoma występuje w wykładniku. Podstawowe typy równań wykładniczych i metody ich rozwiązywania:

1. Równania postaci \(a^{f(x)} = a^{g(x)}\)

Dla takich równań, jeśli \(a > 0\) i \(a \neq 1\), to funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, więc:

\[ a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x) \]

Przykład:

Rozwiąż równanie: \(2^{x+3} = 2^{2x-1}\)

Rozwiązanie:

Ponieważ podstawy są takie same (2), to wykładniki muszą być równe:

\[ x+3 = 2x-1 \]

\[ 3+1 = 2x-x \]

\[ 4 = x \]

Odpowiedź: \(x = 4\)

2. Równania postaci \(a^{f(x)} = b\)

Takie równania rozwiązujemy logarytmując obie strony:

\[ a^{f(x)} = b \]

\[ \log_a (a^{f(x)}) = \log_a b \]

\[ f(x) = \log_a b \]

Przykład:

Rozwiąż równanie: \(3^{2x-1} = 27\)

Rozwiązanie:

Zauważmy, że \(27 = 3^3\), więc:

\[ 3^{2x-1} = 3^3 \]

Porównując wykładniki:

\[ 2x-1 = 3 \]

\[ 2x = 4 \]

\[ x = 2 \]

Odpowiedź: \(x = 2\)

3. Równania postaci \(a^{f(x)} = b^{g(x)}\)

Takie równania można rozwiązać logarytmując obie strony lub sprowadzając do wspólnej podstawy:

Przykład:

Rozwiąż równanie: \(2^x = 4^{x-1}\)

Rozwiązanie:

Zauważmy, że \(4 = 2^2\), więc:

\[ 2^x = (2^2)^{x-1} = 2^{2(x-1)} = 2^{2x-2} \]

Porównując wykładniki:

\[ x = 2x-2 \]

\[ 0 = x-2 \]

\[ x = 2 \]

Odpowiedź: \(x = 2\)

Równania logarytmiczne – metody rozwiązywania

Równania logarytmiczne to równania, w których występują logarytmy z niewiadomą. Przy rozwiązywaniu takich równań kluczowe jest uwzględnienie dziedziny logarytmu (argumenty muszą być dodatnie).

1. Równania postaci \(\log_a f(x) = \log_a g(x)\)

Dla takich równań, jeśli \(a > 0\) i \(a \neq 1\), to funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa, więc:

\[ \log_a f(x) = \log_a g(x) \iff f(x) = g(x) \]

Warunek: \(f(x) > 0\) i \(g(x) > 0\)

Przykład:

Rozwiąż równanie: \(\log_2 (x+3) = \log_2 (2x-1)\)

Rozwiązanie:

Ponieważ podstawy logarytmów są takie same, porównujemy argumenty:

\[ x+3 = 2x-1 \]

\[ 3+1 = 2x-x \]

\[ 4 = x \]

Sprawdzamy warunek: dla \(x = 4\):

\(x+3 = 4+3 = 7 > 0\)

\(2x-1 = 2 \cdot 4 – 1 = 7 > 0\)

Warunki są spełnione, więc odpowiedź to \(x = 4\)

2. Równania postaci \(\log_a f(x) = b\)

Takie równania rozwiązujemy „odlogarytmowując”:

\[ \log_a f(x) = b \]

\[ f(x) = a^b \]

Przykład:

Rozwiąż równanie: \(\log_3 (2x+1) = 2\)

Rozwiązanie:

\[ \log_3 (2x+1) = 2 \]

\[ 2x+1 = 3^2 = 9 \]

\[ 2x = 8 \]

\[ x = 4 \]

Sprawdzamy warunek: dla \(x = 4\):

\(2x+1 = 2 \cdot 4 + 1 = 9 > 0\)

Warunek jest spełniony, więc odpowiedź to \(x = 4\)

Nierówności wykładnicze i logarytmiczne

Przy rozwiązywaniu nierówności wykładniczych i logarytmicznych kluczowe jest uwzględnienie monotoniczności tych funkcji.

Nierówności wykładnicze

Dla \(a > 1\):

\[ a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) > g(x) \]

Dla \(0 < a < 1\):

\[ a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) < g(x) \]

Przykład:

Rozwiąż nierówność: \(2^{x-1} > 8\)

Rozwiązanie:

Zauważmy, że \(8 = 2^3\), więc:

\[ 2^{x-1} > 2^3 \]

Ponieważ \(2 > 1\), funkcja \(2^x\) jest rosnąca, więc:

\[ x-1 > 3 \]

\[ x > 4 \]

Odpowiedź: \(x \in (4, +\infty)\)

Nierówności logarytmiczne

Dla \(a > 1\):

\[ \log_a f(x) > \log_a g(x) \iff f(x) > g(x) \]

Dla \(0 < a < 1\):

\[ \log_a f(x) > \log_a g(x) \iff f(x) < g(x) \]

Warunek: \(f(x) > 0\) i \(g(x) > 0\)

Przykład:

Rozwiąż nierówność: \(\log_2 (x-3) < 3\)

Rozwiązanie:

\[ \log_2 (x-3) < 3 \]

Ponieważ \(2 > 1\), funkcja \(\log_2 x\) jest rosnąca, więc:

\[ x-3 < 2^3 = 8 \]

\[ x < 11 \]

Warunek: \(x-3 > 0\), czyli \(x > 3\)

Odpowiedź: \(x \in (3, 11)\)

Praktyczne zastosowania funkcji wykładniczych i logarytmicznych

Funkcje wykładnicze i logarytmiczne mają liczne zastosowania w różnych dziedzinach:

Zastosowania funkcji wykładniczej:

• Wzrost populacji: \(P(t) = P_0 \cdot e^{rt}\), gdzie \(P_0\) to początkowa populacja, \(r\) to współczynnik wzrostu, a \(t\) to czas
• Rozpad promieniotwórczy: \(N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}\), gdzie \(N_0\) to początkowa liczba atomów, \(\lambda\) to stała rozpadu, a \(t\) to czas
• Procent składany: \(A = P \cdot (1 + \frac{r}{n})^{nt}\), gdzie \(P\) to kapitał początkowy, \(r\) to roczna stopa procentowa, \(n\) to liczba kapitalizacji w roku, a \(t\) to liczba lat

Zastosowania funkcji logarytmicznej:

• Skala decybelowa: \(\text{dB} = 10 \cdot \log_{10} \frac{I}{I_0}\), gdzie \(I\) to natężenie dźwięku, a \(I_0\) to poziom odniesienia
• Skala pH: \(\text{pH} = -\log_{10} [H^+]\), gdzie \([H^+]\) to stężenie jonów wodorowych
• Skala Richtera: \(M = \log_{10} \frac{A}{A_0}\), gdzie \(A\) to amplituda drgań, a \(A_0\) to amplituda odniesienia

Przygotowanie do sprawdzianu – typowe zadania

Poniżej przedstawiamy typowe zadania, które mogą pojawić się na sprawdzianie z funkcji wykładniczych i logarytmicznych.

Zadanie 1: Wyznaczanie dziedziny funkcji

Wyznacz dziedzinę funkcji \(f(x) = \log_2 (x^2 – 9)\).

Rozwiązanie:

Dla funkcji logarytmicznej argument musi być dodatni, więc:

\[ x^2 – 9 > 0 \]

\[ x^2 > 9 \]

\[ |x| > 3 \]

\[ x < -3 \text{ lub } x > 3 \]

Odpowiedź: \(D_f = (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)\)

Zadanie 2: Przekształcanie wyrażeń logarytmicznych

Uprość wyrażenie: \(\log_3 27 + \log_3 9 – \log_3 3\)

Rozwiązanie:

\[ \log_3 27 + \log_3 9 – \log_3 3 = \log_3 (27 \cdot 9 / 3) = \log_3 (3^3 \cdot 3^2 / 3) = \log_3 3^4 = 4 \]

Odpowiedź: 4

Zadanie 3: Rozwiązywanie równań wykładniczych

Rozwiąż równanie: \(4^{x-1} = 8 \cdot 2^{x+1}\)

Rozwiązanie:

Przekształćmy do wspólnej podstawy. Zauważmy, że \(4 = 2^2\) i \(8 = 2^3\):

\[ (2^2)^{x-1} = 2^3 \cdot 2^{x+1} \]

\[ 2^{2(x-1)} = 2^3 \cdot 2^{x+1} \]

\[ 2^{2x-2} = 2^3 \cdot 2^{x+1} \]

\[ 2^{2x-2} = 2^{x+4} \]

Porównując wykładniki:

\[ 2x-2 = x+4 \]

\[ 2x-x = 4+2 \]

\[ x = 6 \]

Odpowiedź: \(x = 6\)

Zadanie 4: Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych

Rozwiąż nierówność: \(\log_4 (x+2) > \log_4 (2x-3)\)

Rozwiązanie:

Ponieważ \(4 > 1\), funkcja \(\log_4 x\) jest rosnąca, więc:

\[ x+2 > 2x-3 \]

\[ 2+3 > 2x-x \]

\[ 5 > x \]

Warunki: \(x+2 > 0\) i \(2x-3 > 0\)

\(x > -2\) i \(x > \frac{3}{2}\)

Łącząc warunki: \(x > \frac{3}{2}\)

Odpowiedź: \(x \in (\frac{3}{2}, 5)\)

Zadanie 5: Obliczanie wartości funkcji wykładniczej

Oblicz wartość wyrażenia: \(3^{\log_3 5} \cdot 5^{\log_5 3}\)

Rozwiązanie:

Korzystamy z własności: \(a^{\log_a b} = b\)

\[ 3^{\log_3 5} \cdot 5^{\log_5 3} = 5 \cdot 3 = 15 \]

Odpowiedź: 15

Kalkulator funkcji wykładniczych i logarytmicznych