# Geometria analityczna – przygotowanie do sprawdzianu

Geometria analityczna to dział matematyki, który łączy algebrę z geometrią, pozwalając na rozwiązywanie problemów geometrycznych za pomocą metod algebraicznych. Jest to niezwykle przydatne narzędzie, które znajdzie zastosowanie nie tylko na sprawdzianach w liceum, ale również na maturze i w wielu dziedzinach nauki. W tym artykule omówimy najważniejsze zagadnienia z geometrii analitycznej, które mogą pojawić się na sprawdzianie, wraz z przykładowymi zadaniami i rozwiązaniami.

Spis treści

1. Układ współrzędnych kartezjańskich
2. Odległość między punktami
3. Środek odcinka
4. Równanie prostej
5. Proste równoległe i prostopadłe
6. Równanie okręgu
7. Wzajemne położenie prostej i okręgu
8. Przykładowe zadania z rozwiązaniami
9. Kalkulator geometryczny

1. Układ współrzędnych kartezjańskich

Układ współrzędnych kartezjańskich to podstawowe narzędzie geometrii analitycznej. Składa się on z dwóch prostopadłych osi: poziomej osi \(x\) i pionowej osi \(y\), które przecinają się w punkcie zwanym początkiem układu współrzędnych \(O(0,0)\).

Każdy punkt na płaszczyźnie można jednoznacznie określić za pomocą pary liczb \((x, y)\), gdzie:

• \(x\) – współrzędna pozioma (odległość od osi \(y\))
• \(y\) – współrzędna pionowa (odległość od osi \(x\))

2. Odległość między punktami

Jednym z podstawowych zagadnień geometrii analitycznej jest obliczanie odległości między dwoma punktami. Jeśli mamy dwa punkty \(A(x_1, y_1)\) i \(B(x_2, y_2)\), to odległość między nimi można obliczyć za pomocą wzoru:

\[ d(A,B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Przykład 1: Oblicz odległość między punktami \(A(3, 4)\) i \(B(6, 8)\).

Rozwiązanie:
Podstawiamy do wzoru:
\[ d(A,B) = \sqrt{(6 - 3)^2 + (8 - 4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

Odległość między punktami \(A\) i \(B\) wynosi 5 jednostek.

3. Środek odcinka

Współrzędne środka odcinka \(AB\), gdzie \(A(x_1, y_1)\) i \(B(x_2, y_2)\), można obliczyć za pomocą wzoru:

\[ S = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \]

Przykład 2: Znajdź współrzędne środka odcinka o końcach \(A(-2, 5)\) i \(B(4, 1)\).

Rozwiązanie:
\[ S = \left(\frac{-2 + 4}{2}, \frac{5 + 1}{2}\right) = \left(\frac{2}{2}, \frac{6}{2}\right) = (1, 3) \]

Środek odcinka \(AB\) ma współrzędne \(S(1, 3)\).

4. Równanie prostej

Prostą na płaszczyźnie można opisać za pomocą różnych równań. Najczęściej używane są:

4.1. Równanie kierunkowe prostej

\[ y = ax + b \]

gdzie:

• \(a\) - współczynnik kierunkowy prostej (tangens kąta nachylenia prostej do osi \(x\))
• \(b\) - wyraz wolny (punkt przecięcia prostej z osią \(y\))

4.2. Równanie ogólne prostej

\[ Ax + By + C = 0 \]

gdzie \(A\), \(B\), \(C\) są liczbami rzeczywistymi, przy czym \(A\) i \(B\) nie mogą być jednocześnie równe zero.

4.3. Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

Jeśli prosta przechodzi przez punkty \(A(x_1, y_1)\) i \(B(x_2, y_2)\), to jej równanie można zapisać jako:

\[ \frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

lub w postaci kierunkowej:

\[ y = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1) + y_1 \]

Przykład 3: Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty \(A(1, 2)\) i \(B(4, 5)\).

Rozwiązanie:
Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej:
\[ a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - 2}{4 - 1} = \frac{3}{3} = 1 \]

Podstawiamy do równania kierunkowego:
\[ y = 1 \cdot (x - 1) + 2 \]
\[ y = x - 1 + 2 \]
\[ y = x + 1 \]

Równanie prostej to \(y = x + 1\) lub w postaci ogólnej: \(x - y + 1 = 0\).

5. Proste równoległe i prostopadłe

5.1. Proste równoległe

Dwie proste o równaniach kierunkowych \(y = a_1x + b_1\) i \(y = a_2x + b_2\) są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe:

\[ a_1 = a_2 \]

5.2. Proste prostopadłe

Dwie proste o równaniach kierunkowych \(y = a_1x + b_1\) i \(y = a_2x + b_2\) są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych równa się -1:

\[ a_1 \cdot a_2 = -1 \]

Przykład 4: Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt \(P(2, 3)\) i prostopadłej do prostej o równaniu \(y = 2x - 1\).

Rozwiązanie:
Współczynnik kierunkowy prostej \(y = 2x - 1\) wynosi \(a_1 = 2\).
Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej wynosi \(a_2 = -\frac{1}{a_1} = -\frac{1}{2}\).

Teraz możemy wyznaczyć równanie prostej o współczynniku kierunkowym \(a_2 = -\frac{1}{2}\) przechodzącej przez punkt \(P(2, 3)\):
\[ y - y_P = a_2(x - x_P) \]
\[ y - 3 = -\frac{1}{2}(x - 2) \]
\[ y - 3 = -\frac{1}{2}x + 1 \]
\[ y = -\frac{1}{2}x + 4 \]

Równanie szukanej prostej to \(y = -\frac{1}{2}x + 4\) lub w postaci ogólnej: \(x + 2y - 8 = 0\).

6. Równanie okręgu

Okrąg o środku w punkcie \(S(x_0, y_0)\) i promieniu \(r\) można opisać równaniem:

\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \]

Po rozwinięciu otrzymujemy równanie w postaci:

\[ x^2 + y^2 - 2x_0x - 2y_0y + x_0^2 + y_0^2 - r^2 = 0 \]

lub w postaci ogólnej:

\[ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \]

gdzie:

• \(D = -2x_0\)
• \(E = -2y_0\)
• \(F = x_0^2 + y_0^2 - r^2\)

Przykład 5: Wyznacz równanie okręgu o środku w punkcie \(S(3, -2)\) i promieniu \(r = 4\).

Rozwiązanie:
Podstawiamy do wzoru:
\[ (x - 3)^2 + (y - (-2))^2 = 4^2 \]
\[ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16 \]

Po rozwinięciu:
\[ x^2 - 6x + 9 + y^2 + 4y + 4 - 16 = 0 \]
\[ x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0 \]

Równanie okręgu to \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16\) lub w postaci ogólnej: \(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0\).

7. Wzajemne położenie prostej i okręgu

Aby określić wzajemne położenie prostej i okręgu, obliczamy odległość środka okręgu od prostej i porównujemy ją z promieniem okręgu.

Odległość punktu \(P(x_0, y_0)\) od prostej o równaniu ogólnym \(Ax + By + C = 0\) wynosi:

\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

Możliwe są trzy przypadki:

• Jeśli \(d > r\), to prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych.
• Jeśli \(d = r\), to prosta jest styczna do okręgu (jeden punkt wspólny).
• Jeśli \(d < r\), to prosta przecina okrąg w dwóch punktach.

Przykład 6: Określ wzajemne położenie prostej \(2x - y + 4 = 0\) i okręgu \((x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9\).

Rozwiązanie:
Środek okręgu to punkt \(S(1, 2)\), a promień \(r = 3\).

Obliczamy odległość środka okręgu od prostej:
\[ d = \frac{|2 \cdot 1 - 1 \cdot 2 + 4|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2 - 2 + 4|}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}} \approx 1.79 \]

Ponieważ \(d < r\) (1.79 < 3), prosta przecina okrąg w dwóch punktach.

8. Przykładowe zadania z rozwiązaniami

Zadanie 1

Wyznacz współrzędne punktów wspólnych prostej \(y = 2x - 1\) i okręgu \(x^2 + y^2 = 5\).

Rozwiązanie:
Podstawiamy równanie prostej do równania okręgu:
\[ x^2 + (2x - 1)^2 = 5 \]
\[ x^2 + 4x^2 - 4x + 1 = 5 \]
\[ 5x^2 - 4x - 4 = 0 \]

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:
\[ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 16 + 80 = 96 \]
\[ \Delta > 0 \], więc równanie ma dwa rozwiązania.

\[ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{96}}{10} = \frac{4 \pm 4\sqrt{6}}{10} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{5} \]

Obliczamy odpowiednie wartości \(y\):
\[ y_1 = 2 \cdot \frac{2 + 2\sqrt{6}}{5} - 1 = \frac{4 + 4\sqrt{6}}{5} - 1 = \frac{4 + 4\sqrt{6} - 5}{5} = \frac{-1 + 4\sqrt{6}}{5} \]
\[ y_2 = 2 \cdot \frac{2 - 2\sqrt{6}}{5} - 1 = \frac{4 - 4\sqrt{6}}{5} - 1 = \frac{4 - 4\sqrt{6} - 5}{5} = \frac{-1 - 4\sqrt{6}}{5} \]

Punkty wspólne prostej i okręgu to \(P_1\left(\frac{2 + 2\sqrt{6}}{5}, \frac{-1 + 4\sqrt{6}}{5}\right)\) i \(P_2\left(\frac{2 - 2\sqrt{6}}{5}, \frac{-1 - 4\sqrt{6}}{5}\right)\).

Zadanie 2

Wyznacz równanie prostej stycznej do okręgu \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 4\) i przechodzącej przez punkt \(P(5, 3)\).

Rozwiązanie:
Środek okręgu to punkt \(S(2, -1)\), a promień \(r = 2\).

Aby prosta była styczna do okręgu, odległość środka okręgu od prostej musi być równa promieniowi okręgu, czyli \(d = 2\).

Równanie prostej przechodzącej przez punkt \(P(5, 3)\) możemy zapisać w postaci \(y - 3 = a(x - 5)\), czyli \(y = ax - 5a + 3\).

Odległość środka okręgu \(S(2, -1)\) od tej prostej wynosi:
\[ d = \frac{|a \cdot 2 - 1 \cdot (-1) - 5a + 3|}{\sqrt{a^2 + 1}} = \frac{|2a + 1 - 5a + 3|}{\sqrt{a^2 + 1}} = \frac{|-3a + 4|}{\sqrt{a^2 + 1}} \]

Ponieważ prosta ma być styczna do okręgu, musimy mieć \(d = 2\), czyli:
\[ \frac{|-3a + 4|}{\sqrt{a^2 + 1}} = 2 \]
\[ |-3a + 4| = 2\sqrt{a^2 + 1} \]

Podnosimy obie strony do kwadratu:
\[ (-3a + 4)^2 = 4(a^2 + 1) \]
\[ 9a^2 - 24a + 16 = 4a^2 + 4 \]
\[ 5a^2 - 24a + 12 = 0 \]

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:
\[ \Delta = (-24)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 12 = 576 - 240 = 336 \]
\[ a_{1,2} = \frac{24 \pm \sqrt{336}}{10} = \frac{24 \pm 4\sqrt{21}}{10} = \frac{12 \pm 2\sqrt{21}}{5} \]

Mamy więc dwa możliwe współczynniki kierunkowe: \(a_1 = \frac{12 + 2\sqrt{21}}{5}\) i \(a_2 = \frac{12 - 2\sqrt{21}}{5}\).

Równania prostych stycznych to:
\[ y = \frac{12 + 2\sqrt{21}}{5}x - \frac{(12 + 2\sqrt{21}) \cdot 5}{5} + 3 = \frac{12 + 2\sqrt{21}}{5}x - (12 + 2\sqrt{21}) + 3 = \frac{12 + 2\sqrt{21}}{5}x - 9 - 2\sqrt{21} \]
\[ y = \frac{12 - 2\sqrt{21}}{5}x - \frac{(12 - 2\sqrt{21}) \cdot 5}{5} + 3 = \frac{12 - 2\sqrt{21}}{5}x - (12 - 2\sqrt{21}) + 3 = \frac{12 - 2\sqrt{21}}{5}x - 9 + 2\sqrt{21} \]

9. Kalkulator geometryczny

Poniżej znajduje się prosty kalkulator, który pomoże Ci w obliczeniach związanych z geometrią analityczną. Możesz obliczyć odległość między dwoma punktami oraz środek odcinka.