Logarytmy to jeden z ważniejszych działów matematyki, który regularnie pojawia się na egzaminie maturalnym. Zrozumienie podstawowych właściwości logarytmów oraz nabycie umiejętności rozwiązywania typowych zadań z tego zakresu jest kluczowe dla osiągnięcia sukcesu na maturze z matematyki. W tym artykule przedstawimy kompleksowe omówienie logarytmów, ich właściwości oraz strategie rozwiązywania zadań maturalnych.

Czym są logarytmy?

Logarytm to operacja odwrotna do potęgowania. Jeśli mamy równanie \(a^x = b\), to logarytm liczby \(b\) przy podstawie \(a\) wynosi \(x\), co zapisujemy jako \(\log_a b = x\).

Definicja logarytmu: \(\log_a b = x \Leftrightarrow a^x = b\), gdzie \(a > 0\), \(a \neq 1\), \(b > 0\).

Na maturze najczęściej spotykamy się z trzema rodzajami logarytmów:

• Logarytm dziesiętny: \(\log_{10} x\), często zapisywany jako \(\log x\)
• Logarytm naturalny: \(\log_e x\), zapisywany jako \(\ln x\), gdzie \(e \approx 2,71828\) to liczba Eulera
• Logarytm o dowolnej podstawie: \(\log_a x\)

Podstawowe właściwości logarytmów

Znajomość poniższych właściwości jest niezbędna do efektywnego rozwiązywania zadań maturalnych:

1. \(\log_a 1 = 0\) (logarytm z 1 przy dowolnej podstawie wynosi 0)
2. \(\log_a a = 1\) (logarytm z podstawy przy tej samej podstawie wynosi 1)
3. \(\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y\) (logarytm iloczynu)
4. \(\log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x – \log_a y\) (logarytm ilorazu)
5. \(\log_a (x^n) = n \cdot \log_a x\) (logarytm potęgi)
6. \(\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}\) (zmiana podstawy logarytmu)
7. \(a^{\log_a x} = x\) (związek potęgowania i logarytmowania)
8. \(\log_a (a^x) = x\) (logarytm z potęgi o tej samej podstawie)

Typowe zadania maturalne z logarytmów

Na egzaminie maturalnym z matematyki możemy spotkać się z różnymi typami zadań dotyczących logarytmów. Poniżej przedstawiamy najczęściej występujące kategorie wraz ze strategiami ich rozwiązywania.

1. Obliczanie wartości wyrażeń logarytmicznych

Przykład 1: Oblicz wartość wyrażenia \(\log_2 8 + \log_3 9 – \log_4 2\).

Rozwiązanie:

\(\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3\)

\(\log_3 9 = \log_3 3^2 = 2\)

\(\log_4 2 = \frac{\log 2}{\log 4} = \frac{\log 2}{\log 2^2} = \frac{\log 2}{2 \log 2} = \frac{1}{2}\)

Zatem: \(\log_2 8 + \log_3 9 – \log_4 2 = 3 + 2 – \frac{1}{2} = 4,5\)

2. Rozwiązywanie równań logarytmicznych

Przykład 2: Rozwiąż równanie \(\log_2 (x+3) + \log_2 (x-1) = 3\).

Rozwiązanie:

Korzystamy z własności logarytmu iloczynu:

\(\log_2 (x+3) + \log_2 (x-1) = \log_2 ((x+3)(x-1)) = 3\)

\(\log_2 (x^2 + 2x – 3) = 3\)

Stosujemy definicję logarytmu:

\(x^2 + 2x – 3 = 2^3 = 8\)

\(x^2 + 2x – 11 = 0\)

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

\(\Delta = 2^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 4 + 44 = 48\)

\(x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{48}}{2} = -1 \pm \sqrt{12} = -1 \pm 2\sqrt{3}\)

Otrzymujemy: \(x_1 = -1 + 2\sqrt{3}\) oraz \(x_2 = -1 – 2\sqrt{3}\)

Sprawdzamy warunki: \(x+3 > 0\) i \(x-1 > 0\), czyli \(x > -3\) i \(x > 1\).

Zatem \(x > 1\), co oznacza, że \(x_2 = -1 – 2\sqrt{3}\) nie spełnia warunków (jest mniejsze od 1).

Sprawdzamy \(x_1 = -1 + 2\sqrt{3}\):

\(-1 + 2\sqrt{3} \approx -1 + 2 \cdot 1,732 \approx -1 + 3,464 \approx 2,464 > 1\)

Odpowiedź: \(x = -1 + 2\sqrt{3}\)

3. Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych

Przykład 3: Rozwiąż nierówność \(\log_3 (x^2-4) > 1\).

Rozwiązanie:

Aby nierówność miała sens, musi być spełniony warunek: \(x^2-4 > 0\), czyli \(x^2 > 4\), co daje \(x < -2\) lub \(x > 2\).

Stosujemy definicję logarytmu:

\(\log_3 (x^2-4) > 1\)

\(x^2-4 > 3^1 = 3\)

\(x^2 > 7\)

\(x < -\sqrt{7}\) lub \(x > \sqrt{7}\)

Łącząc z warunkiem dziedziny, otrzymujemy:

\((x < -2 \text{ i } x < -\sqrt{7}) \text{ lub } (x > 2 \text{ i } x > \sqrt{7})\)

Ponieważ \(-\sqrt{7} \approx -2,65 < -2\), pierwszy warunek to \(x < -\sqrt{7}\).

Ponieważ \(\sqrt{7} \approx 2,65 > 2\), drugi warunek to \(x > \sqrt{7}\).

Odpowiedź: \(x \in (-\infty, -\sqrt{7}) \cup (\sqrt{7}, +\infty)\)

4. Zadania z funkcją logarytmiczną

Przykład 4: Wyznacz dziedzinę i zbiór wartości funkcji \(f(x) = \log_2 (4-x^2)\).

Rozwiązanie:

Dziedzina funkcji logarytmicznej musi spełniać warunek: argument logarytmu jest dodatni.

\(4-x^2 > 0\)

\(x^2 < 4\)

\(-2 < x < 2\)

Zatem dziedziną funkcji jest przedział \((-2, 2)\).

Aby wyznaczyć zbiór wartości, analizujemy zachowanie funkcji:

Gdy \(x\) zbliża się do \(-2^+\) lub \(2^-\), wartość \(4-x^2\) zbliża się do 0, a \(\log_2\) dąży do \(-\infty\).

Dla \(x = 0\), \(f(0) = \log_2 4 = \log_2 2^2 = 2\).

Funkcja jest parzysta (symetryczna względem osi OY), więc jej maksimum przypada dla \(x = 0\).

Zatem zbiorem wartości funkcji jest przedział \((-\infty, 2]\).

5. Zadania praktyczne z zastosowaniem logarytmów

Przykład 5: Kapitał w wysokości 10 000 zł ulokowano na lokacie o stałej stopie procentowej 4% w skali roku z kapitalizacją roczną. Po ilu latach kapitał przekroczy kwotę 15 000 zł?

Rozwiązanie:

Oznaczmy liczbę lat jako \(n\). Po \(n\) latach kapitał wyniesie:

\(K_n = 10000 \cdot (1 + 0,04)^n = 10000 \cdot 1,04^n\)

Szukamy takiego \(n\), dla którego:

\(10000 \cdot 1,04^n > 15000\)

\(1,04^n > 1,5\)

Stosujemy logarytm (funkcja logarytmiczna jest rosnąca, więc zachowuje nierówności):

\(\log 1,04^n > \log 1,5\)

\(n \cdot \log 1,04 > \log 1,5\)

\(n > \frac{\log 1,5}{\log 1,04} \approx \frac{0,176}{0,017} \approx 10,35\)

Ponieważ \(n\) musi być liczbą naturalną, a po 10 latach kapitał nie przekroczy jeszcze 15 000 zł, odpowiedź brzmi: po 11 latach.

Strategie rozwiązywania zadań logarytmicznych

Poniżej przedstawiamy kilka kluczowych strategii, które pomogą w rozwiązywaniu zadań z logarytmami na maturze:

1. Sprawdzenie dziedziny – zawsze upewnij się, że argumenty logarytmów są dodatnie.
2. Wykorzystanie właściwości logarytmów – przekształcaj wyrażenia logarytmiczne korzystając z podstawowych własności.
3. Przejście do definicji – często warto przejść od zapisu logarytmicznego do potęgowego.
4. Zmiana podstawy logarytmu – gdy masz logarytmy o różnych podstawach, możesz je ujednolicić.
5. Sprawdzenie rozwiązań – zawsze weryfikuj, czy znalezione rozwiązania spełniają warunki dziedziny.

Typowe pułapki i błędy

Podczas rozwiązywania zadań z logarytmami łatwo wpaść w następujące pułapki:

1. Zapominanie o dziedzinie – pamiętaj, że \(\log_a x\) jest zdefiniowany tylko dla \(x > 0\) i \(a > 0\), \(a \neq 1\).
2. Błędne stosowanie własności – na przykład \(\log_a (x+y) \neq \log_a x + \log_a y\).
3. Niepoprawne przekształcenia – uważaj na równoważność przekształceń, szczególnie przy przechodzeniu od równań do definicji.
4. Nieuwzględnianie warunków dodatkowych – przy rozwiązywaniu równań i nierówności logarytmicznych.

Kalkulator logarytmów

Poniższy kalkulator pomoże Ci obliczyć wartość logarytmu o dowolnej podstawie:

Podsumowanie

Logarytmy stanowią ważną część matematyki maturalnej. Kluczem do sukcesu w rozwiązywaniu zadań z tego działu jest:

• Zrozumienie definicji i podstawowych właściwości logarytmów
• Znajomość typowych technik rozwiązywania równań i nierówności logarytmicznych
• Umiejętność analizy funkcji logarytmicznych
• Praktyka – rozwiązywanie różnorodnych zadań

Regularnie ćwicząc rozwiązywanie zadań z logarytmami, zyskasz pewność siebie i umiejętności potrzebne do osiągnięcia sukcesu na egzaminie maturalnym z matematyki.